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\title[多项式]{高等代数}
\subtitle{多项式}
\author[]{LQW}
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\date{2025年3月3日 - 23日}

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\begin{frame}{目录}
\tableofcontents
\end{frame}

%\insertsectionnumber

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\section{作业1：一元多项式环、整除、最大公因式}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]\frametitle{作业1讲解}

\begin{enumerate}\itemsep2em
\item  叙述数域的概念。记 $\mathbb{Q}$ 是有理数域。证明数集 $P=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q} \}$ 是一个数域。

\newpage

\item  记 $\mathbb{R}[x]$ 是实系数一元多项式全体组成的集合。设 $f(x),g(x)\in\mathbb{R}[x]$. 证明 $f(x)+g(x)$ 与 $f(x)g(x)$ 也是 $\mathbb{R}[x]$ 中的元素。举例说明 $f(x)/g(x)$ 不一定是 $\mathbb{R}[x]$ 中的元素。

\newpage

\item  设多项式 $f(x)=3x{\,}^3+4x{\,}^2-5x+6$, $g(x)=x{\,}^2-3x+1$. 求 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 得到的商和余式。

\newpage

\item  叙述和证明带余除法定理。

\newpage

\item  将多项式 $f(x)=x{\,}^5$ 写成 $c_0+c_1(x-1)+ \cdots +c_5(x-1)^5$ 的形式。

\newpage

\item  （定理1）设有实系数多项式 $f(x),g(x)$, 设 $g(x)\neq 0$. 证明 $g(x)$ 整除 $f(x)$ 的充分必要条件是 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 的余式为零。 

\newpage

\item  设有实系数多项式 $f(x),g(x)$, 设 $f(x)\mid g(x)$ 且 $g(x)\mid f(x)$. 证明存在非零实数 $c$ 使得 $f(x) = cg(x)$. 

\newpage

\item  叙述实系数多项式环 $\mathbb{R}[x]$ 中的两个多项式的最大公因式的概念。

\newpage

\item  （定理2的例子）使用辗转相除法计算多项式 $f(x)=x{\,}^4+3x{\,}^3-x{\,}^2-4x-3$ 与 $g(x)=3x{\,}^3+10x{\,}^2+2x-3$ 的最大公因式 $d(x)$. 并求多项式 $u(x)$ 与 $v(x)$ 使得 $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$. 

\newpage

\item  （定理3）证明多项式 $f(x),g(x)$ 互素的充分必要条件是存在多项式 $u(x)$ 与 $v(x)$ 使得 $$u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. $$

\newpage

\item  （定理4）设有多项式 $f(x),g(x),h(x)$. 设 $(f(x),g(x))=1$ 且 $f(x)\mid g(x)h(x)$. 证明 $$f(x)\mid h(x).$$ 

\newpage

\item  设有多项式 $f_1(x),f_2(x),g(x)$. 设 $f_1(x)\mid g(x), f_2(x)\mid g(x)$, 且 $(f_1(x),f_2(x))=1$. 证明 $$f_1(x)f_2(x)\mid g(x). $$
\end{enumerate}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]\frametitle{作业1习题}

\begin{enumerate}\itemsep2em
\item  记 $\mathbb{Q}$ 是有理数域。证明数集 $P=\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in\mathbb{Q} \}$ 是一个数域。

\newpage

\item  设 $f(x)=x{\,}^4-2x+5$, $g(x)=x{\,}^2-x+2$. 求 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 得到的商和余式。

\newpage

\item  求实数 $m,p,q$ 使得多项式 $x{\,}^2+mx-1$ 整除 $x{\,}^3+px+q$. 

\newpage

\item  将多项式 $f(x)=x{\,}^4-2x{\,}^2+3$ 写成 $c_0+c_1(x+2)+c_2(x+2)^2+c_3(x+2)^3+c_4(x+2)^4$ 的形式。

\newpage

\item  使用辗转相除法计算多项式 $f(x)=x{\,}^4+x{\,}^3-3x{\,}^2-4x-1$ 与 $g(x)=x{\,}^3+x{\,}^2-x-1$ 的最大公因式 $d(x)$. 并求多项式 $u(x)$ 与 $v(x)$ 使得 $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$. 

\newpage

\item  求实数 $t,u$ 使得多项式 $f(x)=x{\,}^3+(1+t)x{\,}^2+2x+2u$ 与 $g(x)=x{\,}^3+tx+u$ 的最大公因式是二次多项式。

\newpage

\item  设有多项式 $f(x),g(x),h(x)$. 设 $(f(x),g(x))=1$ 且 $(f(x),h(x))=1$. 证明 $$(f(x),g(x)h(x))=1. $$
\end{enumerate}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{作业2：因式分解、重因式、多项式函数}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]\frametitle{作业2讲解}

\begin{enumerate}\itemsep2em
\item  分别在有理数域、实数域和复数域上分解因式：$f(x)=x{\,}^4-4$. 

\newpage

\item  什么是数域 $P$ 上的不可约多项式？举例说明有理数域、实数域和复数域上的不可约多项式。

\newpage

\item  证明：设 $P$ 是一个数域。设 $p(x), f(x), g(x)\in P[x]$. 设 $p(x)$ 是一个不可约多项式。设 $p(x)\mid f(x)g(x)$. 
则一定有 $p(x)\mid f(x)$ 或 $p(x)\mid g(x)$. 

\newpage

\item  （因式分解定理）证明：设  $P$ 是一个数域。设 $f(x)\in P[x]$. 则在 $P[x]$ 中存在不可约多项式 $p_1(x), \cdots, p_s(x)$, 使得 $f(x)=p_1(x)\cdots p_s(x)$. 这种分解在不考虑前后次序和乘以非零常数的情况下是唯一的。

\newpage

\item  将多项式  $f(x)=2x{\,}^3-x{\,}^2-4x+3$ 在实数域上分解因式，并写成标准分解式。

\newpage

\item  证明：设 $P$ 是一个数域。设 $p(x), f(x)\in P[x]$. 设 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k(k\ge 1)$ 重因式，那么 $p(x)$ 是 $f{\,}'(x)$ 的 $k-1$ 重因式。 

\newpage

\item  证明：设 $P$ 是一个数域。设 $p(x), f(x)\in P[x]$. 设 $p(x)$ 是不可约多项式。则 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的重因式的充分必要条件是 $p(x)$ 是 $f(x)$ 与 $f{\,}'(x)$ 的公因式。

\newpage

\item  判断多项式 $f(x)=x{\,}^4+4x{\,}^2-4x-3$ 是否有重因式。

\newpage

\item  设 $P$ 是一个数域。设 $f(x)\in P[x]$. 将 $f(x)$ 看作是 $P\to P$ 的一个函数。

\newpage

\item  （余数定理）设 $P$ 是一个数域。设 $f(x)\in P[x]$. 设 $a\in P$. 则 $f(x)$ 除以 $x-a$ 的余式是 $f(a)$. 

\newpage

\item  证明：设 $P$ 是一个数域。设 $f(x)\in P[x]$.设 $f(x)$ 的次数为 $n$. 则在 $P$ 中最多存在 $n$ 个数 $a_i$ 使得 $f(a_i)=0$. 举例说明 $f(x)$ 在 $P$ 中的根可能少于 $n$ 个。

\newpage

\item  证明 $a$ 是 $f(x)$ 的一个二重根的充分必要条件是 $f(a)=f\,'(a)=0$ 且 $f\,''(a)\neq 0$. 

\newpage

\item  设 $a$ 是 $f\,'''(x)$ 的一个单根。证明 $a$ 是 $$\frac{x-a}{2}[f\,'(x)+f\,'(a)]-f(x)+f(a)$$ 的一个四重根。
\end{enumerate}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]\frametitle{作业2习题}

\begin{enumerate}\itemsep2em
\item  判断多项式 $f(x)=x{\,}^5-5x{\,}^4+7x{\,}^3-2x{\,}^2+4x-8$ 是否有重因式。

\newpage

\item  设实系数多项式 $f(x)=x{\,}^3-3x{\,}^2+tx-1$ 有重根，求 $t$ 的值。

\newpage

\item  设实系数多项式 $f(x)=x{\,}^3+px+q$ 有重根，求 $p,q$ 满足的条件。

\newpage

\item  设 $(x-1)^2\mid Ax{\,}^4+Bx{\,}^2+1$, 求 $A,B$ 的值。

\newpage

\item  证明多项式 $f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$ 没有重根。

\newpage

\item  证明 $a$ 是 $f(x)$ 的一个三重根的充分必要条件是 $f(a)=f\,'(a)=f\,''(a)=0$ 且 $f\,'''(a)\neq 0$. 

\newpage

\item  设 $a$ 是 $f\,'''(x)$ 的一个 $k$ 重根。证明 $a$ 是 $$g(x)=\frac{x-a}{2}[f\,'(x)+f\,'(a)]-f(x)+f(a)$$ 的一个 $k+3$ 重根。

\end{enumerate}

\end{frame}
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\section{作业3：复系数、实系数、有理系数多项式}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]\frametitle{作业3讲解}

\begin{enumerate}
\item  叙述代数基本定理。使用代数基本定理，证明复系数多项式的因式分解定理：每个次数大于零的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。

\newpage

\item  证明实系数多项式的因式分解定理：每个次数大于零的实系数多项式在实数域上都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。

\newpage

\item  举例说明，以及证明高斯引理：两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式。

\newpage

\item  证明：如果一个整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它也能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

\newpage

\item  设 $f(x)=a_nx{\,}^n + a_{n-1}x{\,}^{n-1}+\cdots+a_0$ 是一个整系数多项式，设分数 $\frac{r}{s}$ 是 $f(x)=0$ 的根，其中整数 $r, s$ 互素。则有 $s\mid a_n$ 以及 $r\mid a_0$. 

\newpage

\item  求多项式 $f(x)=2x{\,}^4-x{\,}^3+2x-3$ 的有理根。

\newpage

\item  求多项式 $f(x)=x{\,}^3-6x{\,}^2+15x-14$ 的有理根。

\newpage

\item  证明多项式 $f(x)=x{\,}^3-5x+1$ 在有理数域上不可约。

\newpage

\item  证明艾森斯坦判别法：设 $f(x)=a_nx{\,}^n + a_{n-1}x{\,}^{n-1}+\cdots+a_0$ 是一个整系数多项式。设有素数 $p$ 使得 $p\nmid a_n,\, p\mid a_{n-1},\, p\mid a_{n-2},\, \cdots,\, p\mid a_0,\, p^2\nmid a_0, $
则 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的。

\newpage

\item  证明 $f(x)=x{\,}^n+2$ 在有理数域上是不可约的。

\newpage

\item  判断多项式 $f(x)=x{\,}^6+x{\,}^3+1$ 在有理数域上是否可约。

\newpage

\item  判断多项式 $f(x)=x{\,}^4+40x+1$ 在有理数域上是否可约。

\end{enumerate}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]\frametitle{作业3习题}

\begin{enumerate}\itemsep2em
\item  证明：如果 $(x-1)\mid f(x{\,}^n)$, 那么 $(x{\,}^n-1)\mid f(x{\,}^n)$. 

\newpage

\item  证明：如果 $(x{\,}^2+x+1)\mid f_1(x{\,}^3)+xf_2(x{\,}^3)$, 那么 $(x-1)\mid f_1(x),\, (x-1)\mid f_2(x)$. 

\newpage

\item  将多项式 $f(x)=x{\,}^n-1$ 在实数和复数范围内分解因式。

\newpage

\item  求多项式 $f(x)=4x{\,}^4-7x{\,}^2-5x-1$ 的有理根。

\newpage

\item  求多项式 $f(x)=x{\,}^5+x{\,}^4-6x{\,}^3-14x{\,}^2-11x-3$ 的有理根。

\newpage

\item  判断多项式 $f(x)=x{\,}^2+1$ 在有理数域上是否可约。

\newpage

\item  判断多项式 $f(x)=x{\,}^4-8x{\,}^3+12x{\,}^2+2$ 在有理数域上是否可约。

\newpage

\item  判断多项式 $f(x)=x{\,}^5+5x+1$ 在有理数域上是否可约。
\end{enumerate}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 结束文档
\end{document}
